以下、第\( (i, j) \)成分を\(a_{ij}\)とする\(m\times n\)行列Aを
\[
A=(a_{ij})_{m \times n}
\]
と略記することにします。
和
2つの\(m \times n \)行列
\[
A=(a_{ij})_{m \times n}, \ B=(b_{ij})_{m \times n}
\]
に対して、行列の和を
\[
A+B=(a_{ij}+b_{ij})_{m \times n}
\]
と定義する。
例えば、
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
-3 & 8
\end{pmatrix}
, \
B=
\begin{pmatrix}
3 & 0 \\
4 & -1
\end{pmatrix}
\]
のとき
\[
\begin{eqnarray*}
A+B= &
\begin{pmatrix}
2+3 & 3+0 \\
-3+4 & 8+(-1)
\end{pmatrix} \\
= &
\begin{pmatrix}
5 & 3 \\
1 & 7
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
\]
となります。
差
2つの\(m \times n \)行列
\[
A=(a_{ij})_{m \times n}, \ B=(b_{ij})_{m \times n}
\]
に対して、行列の差を
\[
A-B=(a_{ij}-b_{ij})_{m \times n}
\]
と定義する。
例えば、
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
-3 & 8
\end{pmatrix}
, \
B=
\begin{pmatrix}
3 & 0 \\
4 & -1
\end{pmatrix}
\]
のとき
\[
\begin{eqnarray*}
A-B= &
\begin{pmatrix}
2-3 & 3-0 \\
-3-4 & 8-(-1)
\end{pmatrix} \\
= &
\begin{pmatrix}
-1 & 3 \\
-7 & 9
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
\]
となります。
定数倍
行列\(A=(a_{ij})_{m \times n}\)と定数\( \lambda \in C\)に対して
（\( \in \)は「〜に属する、〜に含まれている」という意味）
行列の定数倍を
\[
\lambda A=(\lambda a_{ij})_{m \times n}
\]
と定義する。
例えば、
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
-3 & 8
\end{pmatrix}
\]
とすると
\[
\begin{eqnarray*}
3A= &
\begin{pmatrix}
3 \times 2 & 3 \times 3 \\
3 \times (-3) & 3 \times 8
\end{pmatrix} \\
= &
\begin{pmatrix}
6 & 9 \\
9 & 24
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
\]
となります。
積
\( l \times m \)行列\( A=(a_{ij})_{l \times m} \)と\( m \times n \)行列\( B=(b_{ij})_{m \times n} \)に対して、
行列の積ABを
\[
AB=( \sum_{k=1}^{m} a_{ik}b_{kj} )_{l \times n}
\]
と定義する。
例えば、
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
-3 & 8
\end{pmatrix}
, \
B=
\begin{pmatrix}
3 & 0 \\
4 & -1
\end{pmatrix}
\]
のとき
\[
\begin{eqnarray*}
AB = &
\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
-3 & 8
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 & 0 \\
4 & -1
\end{pmatrix} \\
= &
\begin{pmatrix}
2 \times 3 + 3 \times 4 & 2 \times 0 + 3 \times (-1) \\
(-3) \times 3 + 8 \times 4 & (-3) \times 0 + 8 \times (-1)
\end{pmatrix} \\
= &
\begin{pmatrix}
18 & -3 \\
23 & -8
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
\]
となります。
積の定義は少し複雑なので、どの成分とどの成分が掛け算され、どの成分になるのかをきちんと把握しよう！