以下、第\( (i, j) \)成分を\(a_{ij}\)とする\(m\times n\)行列Aを
\[
A=(a_{ij})_{m \times n}
\]
と略記することにします。
転置
行列
\[
A=(a_{ij})_{m \times n}
\]
に対して、
行列Aの転置\({}^t\!A\)を
\[
{}^t\!A=(a_{ji})_{n\times m}
\]
と定義する。
このとき、\({}^t\!A\)のことを行列Aの転置行列といいます。
つまり、転置行列とは行列の\((i,j)\)成分と\((j,i)\)成分を入れ換えたものである。
例えば、
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3
\end{pmatrix}
, \
B=
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 5 \\
2 & 4 & 6
\end{pmatrix}
\]
のとき、それぞれの転置行列は
\[
{}^t\!A=
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
5 & 3
\end{pmatrix}
, \
{}^t\!B=
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6
\end{pmatrix}
\]
となります。
随伴
行列
\[
A=(a_{ij})_{m \times n}
\]
に対して、
行列Aの随伴\(A^{*}\)を
\[
A^{*}=(\ \overline{a_{ji}}\ )_{n\times m}
\]
と定義する。（\(\ \overline{a_{ji}}\ \)とは\(a_{ji}\)の共役複素数のことです）
このとき、\(A^{*}\)のことを行列Aの随伴行列といいます。
例えば、
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 5i \\
1+2i & -3
\end{pmatrix}
, \
B=
\begin{pmatrix}
1 & 3-i & -5+i \\
2 & 4+7i & 6
\end{pmatrix}
\]
のとき、それぞれの随伴行列は
\[
A^{*}=
\begin{pmatrix}
2 & 1-2i \\
-5i & -3
\end{pmatrix}
, \
B^{*}=
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3+i & 4-7i \\
-5-i & 6
\end{pmatrix}
\]
となります。